Varians

Dalam teori probabilitas dan statistika, varians (dari bahasa Inggris: variance) atau ragam suatu perubah acak (atau distribusi probabilitas) adalah ukuran bagi persebaran (dispersi) data. Yang diukur adalah seberapa jauh data tersebar di sekitar rerata). Varians merupakan salah satu parameter bagi distribusi normal. Akar dari varians dikenal sebagai simpangan baku (standard deviation). Istilahvarians pertama kali diperkenalkan oleh Fisher dalam makalahnya pada tahun 1918 yang berjudul The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance ("Korelasi di Antara Kerabat dalam Kerangka Pewarisan Mendel").

Rata-rata dari jumlah nilai simpangan dikenal dengan ragam(varians). Setelah nilai ragam diperoleh, selanjutnya nilai ragam tersebut diakarkan untuk mendapatkan kembali satuan asal dari variabel tersebut (bukan kg²/petak², tapi kg/petak

) . Cara pengukuran keragaman seperti ini dikenal dengan Standar deviasi.

Secara matematis, standar deviasi dapat dihitung dengan menggunakan formula:

$\sigma =\sqrt{\dfrac{\Sigma {\left(x_i-\mu \right)}^2}{N}}\ atau\ \sqrt{\dfrac{\Sigma x^2_i-\dfrac{{\left(\Sigma x_i\right)}^2}{N}}{N}}\$

Standar deviasi populasi disimbolkan dengan ? (baca ‘sigma’) dan standar deviasi sampel disimbolkan dengans. Standar deviasi sampel yang baik seharusnya merupakan ukuran yang tidak bias terhadap standar deviasi populasinya, karena kita menggunakan ukuran standar deviasi sampel untuk memperkirakan nilai standar deviasi populasi. Untuk itu, nilai n pada formula di atas diganti dengan n – 1 sehingga formula untuk standar deviasi sampel adalah sebagai berikut:

$s=\sqrt{\dfrac{\Sigma {\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}{n-1}}\ {\rm atau}\ \sqrt{\dfrac{\Sigma x^2_i-\dfrac{{\left(\Sigma x_i\right)}^2}{n}}{n-1}}\$

Mengapa harus diganti dengan n-1?! Pembuktiannya diluar bahasan blog ini.

Data pada tabel distribusi frekuensi:

Data Tunggal:

$s=\sqrt{\dfrac{\sum^k_{i=1}{{f_i\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}}{n-1}}\ {\rm atau}\ s=\sqrt{\dfrac{\Sigma {f_ix}^2_i-\dfrac{{\left(\Sigma f_ix_i\right)}^2}{n}}{n-1}}\$

$\ {\rm atau}\ s=\sqrt{\dfrac{n\Sigma {f_ix}^2_i-{\left(\Sigma f_ix_i\right)}^2}{n(n-1)}}$

Data kelompok (sudah digrupkan berdasarkan selang tertentu):

Sama seperti pada perhitungan simpangan rata-rata. Standar deviasi dan ragam yang dihitung dari distribusi frekuensi data yang sudah dikelompokkan menggunakan nilai data perkiraan, bukan data aslinya. Data pewakil tersebut disimbolkan dengan m. Untuk membuat perhitungan dari data yang sudah dikelompokkan kita harus menganggap, bahwa semua nilai dalam sebuah kelas, sama dengan nilai pewakilnya (tanda kelasnya, m_i). Selanjutnya, nilai perkiraan standar deviasi dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

$s=\sqrt{\dfrac{\sum^k_{i=1}{{f_i\left(m_i-\overline{x}\right)}^2}}{n-1}}\ {\rm atau}\ s=\sqrt{\dfrac{\Sigma {f_im}^2_i-\dfrac{{\left(\Sigma f_im_i\right)}^2}{n}}{n-1}}\$

$\ {\rm atau}\ s=\sqrt{\dfrac{n\Sigma {f_im}^2_i-{\left(\Sigma f_im_i\right)}^2}{n(n-1)}}$

Nilai kuadrat dari standar deviasi dikenal dengan ragam (variance). Pada teknik analisis varian, $\Sigma x^2-\dfrac{{\left(\Sigma x\right)}^2}{n}$ dikenal dengan Jumlah Kuadrat (Sum of Square), dan ragam (varian) dikenal dengan istilah Kuadrat Tengah/Rata-rata Jumlah Kuadrat (Mean Square).

Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean.

Standar Deviasi memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya. SD tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. SD berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan.

Contoh 6

Apabila data nilai Quiz pada contoh 2 diambil dari sampel, tentukan nilai ragam dan standar deviasinya.

Jawab:

Untuk mencari nilai standar deviasi sampel, kita bisa menggunakan salah satu formula berikut:

$s=\sqrt{\dfrac{\Sigma {\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}{n-1}}\ {\rm atau}\ \sqrt{\dfrac{\Sigma x^2_i-\dfrac{{\left(\Sigma x_i\right)}^2}{n}}{n-1}}\$

Formula pertama adalah formula secara definitif. Formula yang direkomendasikan untuk perhitungan secara manual adalah formula yang ke-2. Cara perhitungan dengan formula yang ke-2 bisa di lihat pada contoh 7 dan 8. Pada contoh ini, sebagai latihan, kita gunakan formula yang pertama. Untuk perhitungan dengan formula pertama, kita memerlukan nilai rata-ratanya, sehingga terlebih dahulu kita harus menghitung nilai rata-ratanya.

Quiz I: rata-rata =18.27

Quiz 2: rata-rata = 10.82

No	Quiz 1(x_i)	$(x_i-\overline{x})$	${\left(x_i-\overline{x}\right)}^2$	Quiz 2(x_i)	$(x_i-\overline{x})$	${\left(x_i-\overline{x}\right)}^2$
1	1	-17.27	298.35	2	-8.82	77.76
2	20	1.73	2.98	3	-7.82	61.12
3	20	1.73	2.98	4	-6.82	46.49
4	20	1.73	2.98	5	-5.82	33.85
5	20	1.73	2.98	6	-4.82	23.21
6	20	1.73	2.98	14	3.18	10.12
7	20	1.73	2.98	15	4.18	17.49
8	20	1.73	2.98	16	5.18	26.85
9	20	1.73	2.98	17	6.18	38.21
10	20	1.73	2.98	18	7.18	51.58
11	20	1.73	2.98	19	8.18	66.94
		Jumlah	328.1818			453.6364

Quiz 1:

$s=\sqrt{\dfrac{\Sigma {\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}{n-1}}\ \ s=\sqrt{\dfrac{328.18}{11-1}}=5.73\$

$ragam=s^2={5.73}^2=32.82\$

Quiz 2:

$s=\sqrt{\dfrac{453.64}{11-1}}=6.74\ \$

$ragam=s^2={6.74}^2=45.36$

Kesimpulan:

Berdasarkan nilai ragam dan standar deviasi, Quiz ke-2 lebih bervariasi dibandingkan dengan Quiz ke-1. (kesimpulannya berbeda dengan kesimpulan berdasarkan range)

Contoh 7

Hitung nilai standar deviasi dan ragam dari tabel frekuensi data tunggal berikut:

No	x_i	f_i
1	70	5
2	69	6
3	45	3
4	80	1
5	56	1
Jumlah	320	16

Jawab:

Untuk kemudahan dalam perhitungan secara manual, kita gunakan formula standar deviasi berikut:

$s=\sqrt{\dfrac{n\Sigma {f_ix}^2_i-{\left(\Sigma f_ix_i\right)}^2}{n(n-1)}}\ {\rm atau}\ s=\sqrt{\dfrac{\Sigma {f_ix}^2_i-\dfrac{{\left(\Sigma f_ix_i\right)}^2}{n}}{n-1}}$

Selanjutnya kita buat tabel seperti pada tabel berikut:

No	x_i	f_i	f_i.x_i	f_i.x_i²
1	70	5	350	24500
2	69	6	414	28566
3	45	3	135	6075
4	80	1	80	6400
5	56	1	56	3136
Jumlah	320	16	1035	68677

Dari tabel tersebut didapat:

n = 16

mean = 1035/12 = 64.69

Standar deviasi:

$s=\sqrt{\dfrac{{\rm 68677}-\dfrac{{\left({\rm 1035}\right)}^2}{16}}{16-1}}=10.72\$

${\rm atau}\ s=\sqrt{\dfrac{16(68677)-{\left({\rm 1035}\right)}^2}{16(16-1)}}=10.72$

${\rm Ragam}\ s^2={\left(10.72\right)}^2=115.03$

Contoh 8

Hitung nilai standar deviasi dan ragam dari tabel frekuensi yang sudah dikelompokkan:

Tabel berikut ini adalah nilai ujian statistik 80 mahasiswa yang sudah disusun dalam tabel frekuensi. Berbeda dengan contoh di atas, pada contoh ini, tabel distribusi frekuensi dibuat dari data yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu (banyak kelas = 7 dan panjang kelas = 10).

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i
1	31 – 40	2
2	41 – 50	3
3	51 – 60	5
4	61 – 70	13
5	71 – 80	24
6	81 – 90	21
7	91 – 100	12
	Jumlah	80

Jawab:

Untuk kemudahan dalam perhitungan secara manual, kita gunakan formula standar deviasi berikut:

$s=\sqrt{\dfrac{\Sigma {f_im}^2_i-\dfrac{{\left(\Sigma f_im_i\right)}^2}{n}}{n-1}}\ {\rm atau}\ \ s=\sqrt{\dfrac{n\Sigma {f_im}^2_i-{\left(\Sigma f_im_i\right)}^2}{n(n-1)}}$

Selanjutnya kita buat daftar tabel berikut, tentukan nilai tengah kelas/pewakilnya (m_i) dan lengkapi kolom berikutnya.

Kelas ke-	Nilai Ujian	f_i	m_i	f_i.m_i	f_i.m_i²
1	31 – 40	2	35.5	71.0	2520.5
2	41 – 50	3	45.5	136.5	6210.8
3	51 – 60	5	55.5	277.5	15401.3
4	61 – 70	13	65.5	851.5	55773.3
5	71 – 80	24	75.5	1812.0	136806.0
6	81 – 90	21	85.5	1795.5	153515.3
7	91 – 100	12	95.5	1146.0	109443.0
	Jumlah	80	458.5	6090.0	479670.0

Dari tabel tersebut didapat:

n = 80

mean = 6090/80 = 76.13

Standar deviasi dan ragam:

$s=\sqrt{\dfrac{\Sigma {f_im}^2_i-\dfrac{{\left(\Sigma f_im_i\right)}^2}{n}}{n-1}}=\sqrt{\dfrac{{\rm 479670}-\dfrac{{\left({\rm 6090}\right)}^2}{80}}{80-1}}=77.92$

${\rm atau}\ s=\sqrt{\dfrac{n\Sigma {f_im}^2_i-{\left(\Sigma f_im_i\right)}^2}{n(n-1)}}=\sqrt{\dfrac{80(479670)-{\left({\rm 6090}\right)}^2}{80(80-1)}}=77.92$

${\rm Ragam}\ s^2={\left(77.92\right)}^2=6070.81$

Contoh Tambahan:

Dengan cara yang sama seperti di atas, nilai standar deviasi untuk ketiga varietas:

Varietas I = 1.87

Varietas II = 9.49

Varietas III = 2.35

Sumber : http://smartstat.wordpress.com/2010/03/27/ukuran-penyebaran-measures-dispersion/#ragam

Posted in: Matematika

Belajar Menguasai Blog

My Motto

About Me

Label

Jadwal Sholat

Kalender

JAM

Rabu, 19 September 2012

Varians (Ragam)

Varians

1 komentar:

Posting Komentar

Entri Populer

Label

Arsip Blog

Terjemahan Bahasa

Profil Facebook

Pengunjung

STATIS

My Blog List